/ 수학이라는 학문은 발견인가? 발명인가?

수학이라는 학문은 발견인가? 발명인가?

  • #19506

    어릴적에 다들 한번씩 수학의 체계성을 보고 놀란적이 있을겁니다.

    저도 이런 생각에서 확장되어 수학의 한계가 과연 존재할까?,수학의 모순성은 존재할까?라는 생각을 하게되었고 고대 그리스 시절부터 논쟁되어온 이 주제를 보게되었습니다.

     

    이 주제는 매우 철학적이라서 관점에따라 답이 달라질수있습니다.

    이 주제에 대해 여러분들의 생각은 어떻시나요?

     

    1989년 필즈 매달과 크라포드 상을 수상한 프랑스의 수학자 알랭 콘느, 대중적인 수학서를 많이 발포한 유명 작가 마틴 가드너는 수학은 ‘발견’ 이라고 말한다. 가드너는 “공룡 두 마리가 숲속 공터에서 다른 공룡 두 마리와 마주 쳤다면 그 곳에서는 네 마리의 공룡이 있게된다. 그 공룡들을 관찰할 인간도 없고, 공룡들이 자신들의 수가 네이라는 사실을 알아치릴 정도로 영리하지 못해도 공룡이 네 마리라는 사실은 분명하다.” 이런 말을 하였다.

     

    필즈 메달과 아벨 상을 수상한 영국의 수학자 마이클 아티야

    그는 “인간이 물리적 세계의 요소를 추상화하고 이상화함으로써 수학을 창조 했다”라고 믿는다.

    그 말고도 언어학자인 조지 라코프와 물리학자인 라파엘 누녜즈도 이에 동이를 했다.

    이 두사람은 “수학은 인간의 자연스러운 일부다. 수학은 우리 몸과 두뇌와 나날이 살아가는 세상 경험속에서 나온 것이다.” 라고 <수학은 어디에서 왔을까>란 책에서 말했다.

     

    출처 -신은 수학자인가? – 마리오 리비오

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    • #19507

      제 생각은 수학은 발명과 발견 두가지의 특성이 동시에 존재한다고 생각합니다.

      먼저 본론의 들어가기 앞서 저는 이 주제를 수학적인 관점에서만 해석했다는 점과 수학이 자연속에 진리를 발견했다는 의견에서 저는 ‘자연은 완전하고 모순성을 지닐수 없는  것’이라고 정의를 했다는 점을 알아주시길 바라겠습니다.

       

      수학이 발명인 이유 중 가장 큰 이유로는 수학의 모순성을 증명한 수학적 정리가 있습니다.

      이는 여러분들도 한번씩은 들어보셨던 쿠르트 괴델의 ‘불완전성 정리’입니다.

      이는 아이러니하게 수학적인 한계를 수학적으로 증명한 정리입니다.하지만 이 정리는 수학이라는 학문에 있어 혁명과 가까운 정리이죠.

      이 정리를 간단히 말하자면 모순성이 존재하지 않게 아무리 완벽한 형식 체계를 고안을 해도 최소 한개의 명제는 참인지 거짓인지 증명이 불가능한 명제가 나온다고 합니다.

      다시 말해 아무리 강력한 형식 체계라도 모순성이 존재한다라는 이야기입니다.

      예를 들어보면 우리가 그토록 잘 알고있는 유클리드의 기하학도 현재 리만,푸앵카레의 의해 새로운 공리들과 정리들로 유클리드 기하학과는 다른 비유클리드 기하학이 생겼났습니다.이처럼 만약 수학이 발견이라면 즉,수학이 자연속에 존재하는 보편적인 진리라면 이런 모순성이 존재한다는 것은 거짓이 되겠지요.

       

      하지만,이렇게 수학의 불완전성을 증명한 정리가 있다고 하지만,

      순수 수학으로 고안된 수학 공식들이  자연속 현상을 설명하게되는 ‘비합리적 효용성’ 현상을 설명할수는 없다고 합니다.

      ‘어느 수학자의 변명’의 저자이고 제가 가장 본받고싶은 수학적 철학을 가지신 G.H.하디는 순수 수학이 자연 현상을 설명하는데 유용하지 않다고 자부하셨지만,실제 그의 하디-바인베르크 법칙은 유전학의 기여하여 노벨상까지 받았다고 합니다.이외에도 정수론은 암호법을 수립하는데 기여했고,피보나치 수열이 자연계에서 다양하게 발견되었다고 합니다.이는 수학이라는 학문 자연과 깊은 관련이 있기때문에 가능하다고 생각하여 수학은 발견이라고 말할수도있습니다.

       

      이런이유들로 저는 수학은 발견과 발명의 특성을 동시에가진 학문이라고 생각합니다.

       

       

    • #19680

      수학은 발명이라 생각합니다. 어떠한 현상을 개념화한거죠. 개념화란 언어화 입니다. ‘나무 재질의 기둥네개가 나무재질의 넢적하고 평평한 것을 떠받치고있는 것’을 우리는 ‘상(table)’이라고  언어화 할 수있죠. 개념화 되지 않았다고 원본의 실재가 존재 안하는건 아니지만 이때 언어로서 붙여놓은 상이라는 개념은 우리가 발명한것이죠. 수학도 마찬가지로 공룡 네마리는 실재해도 그것에 4라고하는 수학적개념이 존재하진 않습니다. 수학은 우리가 세상을 편하게 해석하기 위해 필요한 개념화를 위한 하나의 언어와도 같죠.

    • #19770

      1. 결론

      발견이냐 발명이냐는, ‘자연적으로 주어진 것’이냐 ‘구성된 개념’이냐로 이해하면 되겠죠?

      저는 수학이란 게, 물리적 세계에 존재하지 않으나 인간 등이 의미를 부여해 사용하는 ‘구성된 개념’이라는 의미에서, 발명이라고 생각합니다.

       

      2. 근거1 : 수학의 대상인 ‘수’가 구성된 개념이므로 수학 또한 ‘발명=구성’이다.
      수학의 개념을 어떻게 규정해야 할지, 수학의 범위를 어떻게 잡아야 할지 다소 막막하지만, 결국은 근본적으로 ‘수’에 대한 학문이고, ‘수’의 관계를 다루는 학문이 아닐까 합니다. 수학에서 등장하는 다른 개념들은 ‘수’에 대한 직관 등을 확장한 것이고요.

       

      결국 ‘수학’이란 활동의 전제가 되는 ‘수’가 주어진 것인지, 구성된 것인지를 파악하는 게 ‘수학’이 ‘주어진 것을 발견’하는 활동인지, ‘개념을 구성/재구성하는 발명’인지 판단함에 있어 선행되어야 한다는 얘기입니다.

       

      수학의 근간인 ‘수’에 대해 생각해보면, ‘수’라는 건 두 가지 능력에 기반하고 있습니다.

      첫 번째는 동질성을 파악 또는 부여하는 능력이고, 두 번째는 개체를 구별할 수 있는 능력입니다.
      가령, 동질성을 전혀 부여할 수 없는 개체 간에는 ‘수’가 무의미합니다. 볼펜과 햄버거와 핸드폰과 아파트가 나란히 있다고 해도 우리는 구태여 여기에 ‘수’를 세지 않고, 만약 센다고 하더라도 여기에는 ‘인식할 수 있는 물리적 실체’라는 추상화 과정을 거친 다음에나 가능한 일일 겁니다.

       

      동질성을 부여하기 위해서는 추상적인 사고 능력이 필요하고, 개체로서 식별하기 위해서는 적합한 기관이 있어야 합니다.  결국 두 가지 모두 인지능력이 있는 생명체가 전제되어야 합니다.

       

      3. 근거2 : 구성된 개념 간의 관계는 ‘구성=발명’이다

      다만, ‘수’ 자체가 구성된 것이라 하더라도 그 관계는 ‘법칙적’일 수 있고, 이는 ‘발견’에 해당하는 것이라고 할 수도 있겠죠. 위에서 leeseungwoo님이 제시한 ‘비합리적 효용성’이란 것도 이와 비슷한 주장이 아닐까 싶네요. 그리고 수학의 법칙 자체가 매우 일관된 것 또한 그렇고요.

       

      하지만 구성된 개념 간의 관계는 그 대상이 근본적으로 구성된 것인 이유에서 ‘주어진 것’일 수 없습니다. 그럼에도 수학이 그토록 견고한 것은 ‘고도의 추상성’ 때문이 아닐까 합니다. 수학의 일관성은 그냥 주어진 것이라기 보다는,  기존의 일관성을 지키기 위한 역사적 노력이 있었기 때문인데, 이러한 ‘노력’을 반드시 ‘발견’으로만 해석해야 할 필연적인 이유는 없으며, 이를 ‘발명’으로 해석해도 무방합니다. 수학적 법칙(수의 관계)의 일관성이 ‘발명’과 ‘발견’, 양쪽 견해를 모두 지지한다면, 이를 특정 입장에 대한 근거로 사용할 수는 없을 것입니다.

       

      그렇다면 수학의 일관성이나 효용은 ‘구성된 개념 간의 관계’는 그 자체도 ‘구성된 것’일 수밖에 없다는 직관을 허물어뜨릴 근거가 되기는 어려워 보입니다.

       

      4. 추가 –  leeseungwoo님에 대한 질문

      논제와 관련은 없습니다만, leeseungwoo님께 궁금한 것이 생겨, 추가로 글을 남깁니다.

       

      ‘불완전성’ 정리는 흥미로운 논증이지만, ‘강력한 형식 체계라도 모순성이 존재한다’라는 것은 불완전성 정리의 내용이 아니지 않을까 합니다. 불완전성 정리의 제2명제는 ‘완전한 형식체계는 스스로의 무모순성을 증명하지 못한다’인데, 이는 ‘모순이 존재한다’라는 것과 다릅니다. 완전한 형식체계에는 모순이 있을 수도 있고, 없을 수도 있습니다. 다만 그 자체의 무모순성을 스스로의 형식체계로 증명할 수 없다는 것일 뿐이죠. 이에 대해 제가 오해하고 있는 내용이 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.

       

      다음으로, 정작 불완전성 정리를 증명한 괴델은 실재론자였던 것으로 알고 있습니다. 또한 만약 ‘모순이 있으므로 구성된 것이다’라는 명제가 사실이라고 해도, 이것이 ‘자연적으로 주어진 것’이 아니라고 하려면, ‘자연에는 모순이 없다’라는 선결문제가 해결되어야 합니다. 이 부분에 대해서는 어떤 입장이신지 궁금하네요

       

       

    • #19877

      발명이라면 수학으로 인한 활용과 시뮬레이션, 통계가 일맥상통하는 것 없이 해당 개념의 발명으로 인한 독립된 객체이거나, 그 발명 자체가 이러한 일맥상통함을 동일하게 직접 개념의 창조로 가능하게 해야하는데, 대부분의 수학 발명자는 미래에 해당 공식이 어떻게 쓰일지도 알지 못했죠? 그냥 논리적 사고 회로나 숫자의 결합 역학에 따른 사상 놀이가 아니라, 실효성이 있는 학문이니 발견이라 하는 거 같습니다.

       

      발명이기 위해선 최초 수학자가 해당 공식과 원리를 찾아내는 순간, 우주와 물리, 생물학, 무형 역학 등에 적용된 모든 원리가 갱신되어야지요. 말이 안 되는 만큼, 발견일 수밖에 없습니다. 증명되어서 지속적으로 사용될 수 있고 다른 이론과 원리의 기반이 될 수 있다면, ‘제대로’ 찾아낸 것이라고 할 수 있습니다. 단지 아무나 그러한 새로운 영역을 개척할 만큼의 지성을 겸비하지 못하고, 증명을 위해 그 직전까지의 전문성을 소화하지 못하므로 발견 수학자의 지적 기여나 명예는 분명히 존중할 수 있는 바라고 봅니다.

       

      발명이라 함은 곧 창조고, 그렇다면 발명자의 한계로 인해 해당 원리/공식이 세상에 연결되지 않아야 합니다. 하지만 일맥상통하여 통하므로, 발명이 아닌 발견이라 할 수 있습니다.

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